Сыграем в «Парсель»? Увлекательная математическая игра

Мы познакомим вас с игрой нового типа, где уничтожения не происходит, но, тем не менее, производятся жертвы – правда, не материальные, а позиционные. Они состоят в укреплении позиции противника. При этом, по замыслу каждого из игроков, своя собственная позиция укрепляется сильнее: получается, что на самом деле речь идет о косвенном ослаблении. Назовем такой тип игрового взаимодействия псевдокооперацией. В парселе она достигается за счет нейтрального игрового материала, принадлежащего обоим игрокам.

Пять правил парселя (от французского parcelle – маленький земельный участок, надел), набранные в тексте выделенным шрифтом, просты и логически взаимосвязаны, но основаны на тонких математических идеях, поэтому для их понимания и освоения потребуются определенные интеллектуальные усилия.

Игровое поле представляет собой квадрат на бумаге в клетку, поделенный на 7х7=49 клеток. Вдоль нижней горизонтали и левой вертикали стоят ряды латинских букв и чисел от 1 до 8 соответственно, задающих координаты вершин – углов клеток (рис. 1).

1. Играют двое. Каждым ходом соперники поочередно выставляют (вычерчивают) по отрезку определенного цвета на одно из ребер – сторон клеток. Один игрок – назовем его «синими» – выставляет синие отрезки; другой – назовем его «красными» – красные. Начинают синие. Отрезок на каждом ребре можно вычертить всего один раз – там он остается до конца партии. Можно пропускать ход.

Примеры возможных ходов приведены на рис. 2.

2. Отрезок, касающийся хотя бы одним концом уже выставленного отрезка противника, становится зеленым. Изолированные зеленые отрезки выставлять запрещено.

Здесь возможны два ничем принципиально не различающихся случая: когда отрезок касается только одним концом (рис. 3a) или обоими концами отрезков противника (3b).

Зеленые отрезки и ломаные можно считать нейтральным игровым материалом, принадлежащим обоим противникам.

3. Запрещается «протыкать» зелеными ломаными синие и красные ломаные.

Это означает, что если зеленый отрезок касается красной или синей ломаной в некоторой ее внутренней вершине с одной стороны, то нельзя выставлять зеленый отрезок, отходящий от этой же вершины с другой стороны ломаной (рис. 4a-b).

Перейдем к ключевому для игры понятию – участку.

Участок – это связное множество клеток, отделенное от остальной части поля некоторой ломаной, называемой границей. Связность клеток внутри участка означает, что любые две из них можно соединить маршрутом, состоящим из вертикально-горизонтальных перемещений по клеткам участка, и таким, что он не пересекает уже выставленных отрезков.

Пример участка приведен на рис. 5.

Из рисунка, а также общих соображений ясно, что граница состоит из одной или нескольких циклических ломаных – граничных циклов. Например, граница розового участка на рис. 5 состоит из трех граничных циклов.

Участок считается имеющим определенный цвет – синий или красный, если его граница состоит из отрезков этого цвета с возможным, но необязательным включением зеленых отрезков. Из этого определения следует, что граница участка определенного цвета имеет в своем составе хотя бы один цикл, содержащий отрезок этого цвета. Остальные отрезки границы могут быть зелеными. На рисунках 6a-b-c приведены примеры участков определенного цвета.

Участок, не имеющий определенного цвета, назовем неопределенным. Свойства неопределенного участка вытекают из простого отрицания свойств участка определенного цвета: либо все входящие в его границу циклы являются нейтральными – то есть содержат лишь зеленые отрезки, – либо один из его граничных циклов является смешанным, то есть включает как синие, так и красные отрезки (рис. 7).

Зацикливание – это ход, в результате которого на поле появляется новый участок.

4. Зацикливание можно совершать только в том случае, если при этом образуется хотя бы один новый участок определенного цвета.

Это правило проиллюстрировано на рис. 8a-b-c.

Из вышеприведенного правила следует, что зацикливание нельзя совершать, если в результате его применения образуются только неопределенные участки (рис. 9a-b).

Из правила зацикливания следует также, что смешанный или нейтральный граничные циклы допустимы только в том случае, если они появляется одновременно хотя бы с одним новым участком определенного цвета (рис. 10a-b-c).

5. Если оба противника по очереди пропускают ход, партия заканчивается. После этого для каждого игрока определяется суммарная площадь принадлежащих ему участков – то есть участков определенного цвета, выраженная в числе клеток. Площади неопределенных участков при этом не учитываются. Побеждает тот игрок, у которого суммарная площадь участков больше.

Синие, начинающие партию, имеют преимущество. Поэтому в условие выигрыша желательно ввести фору, которую синие дают красным в виде некоторого нецелого числа очков (нецелого – чтобы избежать ничьей). Размер форы автору пока точно не известен, так как не набрана достаточная статистика. Для поля 7х7, вероятно, можно ограничиться форой, равной 1,5 очков.

Предположим, что рисунок 11 представляет позицию в законченной партии (в действительности конечные позиции получаются намного более сложными).

У синих два участка – {d7-d6-e6-e7} и {d6-d4-e4-e6}. Первый имеет площадь, равную 1, второй – 2. Их суммарная площадь равна 1+2=3. У красных один участок, ограниченный двумя граничными циклами (e4-e1-h1-h4) и (f3-f2-g2-g3). Его площадь равна 8. Кроме того, они получают фору от синих, следовательно, общая сумма их очков составляет 8+1,5=9,5. Так как 9,5>3, красные выиграли.

Приведем еще два способа уравнивания шансов.

1. Для синих вводится ограничительный прямоугольник 2 3 клеток, в центре которого расположен их первый отрезок. Это означает, что второй отрезок синих должен выставляться за границами этого прямоугольника, причем сама его граница тоже входит в запретную зону. Остальные ходы совершаются без дополнительных ограничений (рис. 12).

2. Синие предлагают несколько альтернативных вариантов второго хода, из которых красные выбирают один. Вероятно, оптимальное число вариантов равно трем.

Арсенал тактических приемов в парселе огромен и заслуживает отдельного рассмотрения. Ограничимся теми двумя из них, что играют определяющую роль в начальной и конечной стадии игры соответственно. В начальной стадии игры важным приемом является сшивка с прорехой – соединение двух изолированных ломаных противника зеленым отрезком (рис. 13a-b).

На средней и заключительной стадии игры важную роль играет внедрение своего участка внутрь участка противника, который таким образом уничтожается (14a-b-c-d).

В процессе уничтожения могут возникать и более сложные конфигурации из нескольких вложенных друг в друга циклов (рис. 15a-b).

Рекомендуем читателю придумать и разобрать еще более сложные конфигурации. Для этого, возможно, потребуется перейти к полям более крупных размеров – 9х9, 11х11 и т. д.

В парселе красные не в состоянии применить симметричную стратегию, надеясь уравнять суммарные площади участков и, пользуясь правилом форы, с легкостью выиграть партию (а если бы не было форы, то свести ее к ничьей). Это обусловлено правилом запрета на зацикливание, при котором образуются только неопределенные участки (см. рис. 16a-b-c-d).

В отличие от го, где стратегическое развитие имеет ярко выраженный центростремительный характер (от краев поля к центру), в парселе оно центробежное: противники сначала стараются развиться в центральной зоне – в ней достигается наибольшее влияние на остальную часть поля, – после чего оттесняют друг друга на периферию. Это связано с тем, что циклы должны быть полными: в них не могут входить не занятые игровым материалом края поля, как в го.

Тактические приемы, связанные с краями поля – так называемые краевые приемы, – в парселе менее содержательны, чем в го. Поэтому в идеале поле в этой игре вообще не должно иметь краев. Оптимальной формой для него была бы поверхность тора, получаемая путем отождествления противоположных сторон квадрата, или хотя бы цилиндрическая поверхность. Играть на таких полях сложно, но комбинационный потенциал возрастает в разы.

По особенностям игрового материала парсель можно отнести к так называемым линейчатым играм – игровые фишки представлены здесь линейными элементами в виде отрезков. Использование ребер, а не клеток, значительно увеличивает комбинационные возможности игры. Дело в том, что, согласно теореме Эйлера, число ребер в квадратной сетке равно (n+1)²+n²-2=2n²+2n-1. Следовательно, отношение их числа к числу клеток равно

Очевидно, для больших n это значение будет приближаться к 2, то есть число ребер будет примерно в два раза больше числа клеток.

Поэтому и на поле 5х5 игра будет вполне содержательной, хотя и более быстротечной, чем на стандартном поле. Новичкам, для отработки тактических приемов, рекомендуется начинать с минимального поля 3х3.

По мере накопления опыта можно переходить к более крупным полям. На них больше возможностей для построения участков со сложной структурой. Кроме того, преимущество первого хода с укрупнением поля постепенно сходит на нет.

В более сложной модификации игры, наряду с горизонтальными и вертикальными отрезками, можно выставлять любые отрезки, не проходящие, за исключением своих концов, через вершины поля. При этом следует ввести запрет на их пересечение, независимо от цветов. Площади соответствующих участков легко определить по формуле Пика: S = 0.5Г+В-1, где Г – число точек на границе участка, а В – число его внутренних точек. Разумеется, для такой игры следует использовать поля небольших размеров – 3х3 такой 5х5.