РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

Игра в конфигурации: читайте о новой головоломке

Предлагаем вам вариант еще одной новой и увлекательной игры, которая подойдет как детям, так и взрослым. На первый взгляд, она представляет собой типичную головоломку с переменными начальными условиями типа кубика Рубика, судоку или пасьянса. Однако ее возможности значительно шире.
Тэги:
Игра в конфигурации: читайте о новой головоломке

Игра в конфигурации может использоваться как конструктор для разнообразных красивых конфигураций – аналогично игре (точнее, клеточному автомату) «Жизнь», – а также для создания интересных математических задач.

РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

Правила игры очень просты. На «бесконечном» листе бумаги в клетку задается произвольная начальная конфигурация из конечного числа крестиков, которую назовем затравкой. Пример затравки представлен на рис. 1.

Рисунок 1
Назовем приведенную на рисунке затравку из четырех крестиков тетрадой. Здесь и в следующих рисунках затравка выделена синим цветом.

К затравке последовательно добавляются новые крестики в соответствии со следующими двумя правилами.

РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ
РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ
  1. Каждый выставляемый крестик должен образовывать с уже выставленными хотя бы один ряд из трех рядом стоящих крестиков по вертикали, горизонтали или диагонали. Из этого правила следует, что нельзя выставлять изолированный крестик, а также выстраивать ряд, состоящий лишь из двух рядом стоящих крестиков.
  2. Запрещается ставить крестик, если он при этом образует с уже выставленными хотя бы один ряд более чем из трех рядом стоящих крестиков. Эти правила иллюстрируются на рис. 2.
РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ
Рисунок 2
В клетки 1, 2, 3 ставить крестики можно. После этого в клетку 4 крестик ставить нельзя, т.к. образуется ряд из четырех рядом стоящих по вертикали крестиков [1, 2, 3, 4] (нарушено правило 2). В клетку 5 крестик тоже ставить нельзя, т.к. при этом образуется диагональный ряд лишь из двух крестиков [1, 5] (нарушено правило 1).

Оказывается, к любой затравке можно добавить лишь конечное число новых крестиков (бесконечные затравки мы пока не затрагиваем). Попробуйте это доказать!

Конфигурации, к которым невозможно, не нарушая правил, добавить новые крестики, назовем полными. В противном случае они считаются неполными. Некоторые полные конфигурации, порожденные тетрадой, обладают изящной симметричной структурой (рис. 3 – 6).

РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ
РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

Конечность полных конфигураций естественным образом определяет несколько взаимосвязанных классов задач, которые и можно считать целями игры. Приведем некоторые из них.

1. Для заданной затравки найти полную конфигурацию с максимальным числом крестиков. В общем случае эта задача сложна (пока не найдено разумного алгоритма, не сводящегося к простому перебору возможностей). Автор предполагает, что к тетраде можно добавить, самое большее, 19 новых крестиков. Соответствующая полная конфигурация из 23 крестиков изображена на рис. 8.

РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ
Рисунок 8
Восстановите последовательность ходов, ведущих к этой полной конфигурации.
РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

Можно, наоборот, задаться целью найти для данной затравки минимальную полную конфигурацию. Для тетрады ею будет квадрат 3 3, изображенный на рис. 3. Число крестиков в нем равно 9.2. Для заданной затравки найти полную конфигурацию с фиксированным числом крестиков. Автору удалось найти порожденные тетрадой полные конфигурации с числом крестиков, равным 9, 11, 12, 13, 14, 15, 18, 20, 22 и 23. Попытайтесь самостоятельно найти их. Кстати, для числа 12 существуют как минимум три различные конфигурации.

РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

3. Для заданной полной конфигурации найти порождающую ее минимальную затравку (то есть такую, которая состоит из минимального числа крестиков). Разумеется, при этом нужно отыскать и соответствующую последовательность ходов. Составление и решение задач такого рода может доставить подлинное эстетическое удовольствие. Приведем два примера. Найдите минимальную затравку для полной конфигурации, изображенной на рис. 9.

РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ
РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ
Рисунок 9

В качестве решения напрашивается затравка из четырех крестиков, обладающая тем же типом симметрии, что и конечная конфигурация. Однако задачу решают затравки с иным типом симметрии. Две из них изображены на рис. 10a и 10b.

Рисунок 10a и 10b
РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ
РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

Решите аналогичную задачу для полной конфигурации, изображенной на рис. 11.

Рисунок 11

Минимальное количество крестиков в затравке для этой конфигурации равно 5. Два варианта решения представлены на рис. 12a и 12b.

Рисунок 12а и 12b
РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ
РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

Полные конфигурации могут быть использованы в качестве элементов декора. Их главное эстетическое достоинство – ажурность. На рис. 13 приведены симметричные полные конфигурации, полученные из тетрады, представленные в виде цветной мозаики.

Рисунок 13

Назовем такую мозаику эквидистантной (от лат. equus – равный, distantia – расстояние). Это означает, что любой отрезок, соединяющий центры выставленных квадратиков и целиком принадлежащий им, не превышает фиксированной величины, выраженной в условных метрических единицах, в данном случае трех единиц. Подразумевается так называемая шахматная метрика, в которой сторона квадрата равна его диагонали. Представим в виде цветной мозаики полные конфигурации из последних двух задач (рис. 14).

РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ
Рисунок 14
РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

Теперь используем голубую фигуру слева в качестве повторяющегося элемента – мономера – бесконечной цепи, которая, в свою очередь, образует полную конфигурацию (рис. 15).

Рисунок 15
Цепь идет в направлении от левого верхнего угла в нижний правый. Изображен ее конечный фрагмент. Красным цветом выделены квадратики, которые после соединения мономеров в цепь добавлены для того, чтобы конфигурация стала полной.
РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

Присоединим с левой стороны полученной цепи ее копию так, чтобы в результате тоже получилась полная конфигурация (рис. 16).

Рисунок 16
Желтым цветом выделены квадратики, которые после соединения цепей добавлены для того, чтобы конфигурация стала полной.
РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

Ясно, что продолжая процесс присоединения цепей слева, можно заполнить всю плоскость (рис. 17).

Рисунок 17
РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

Считая белые квадратики элементами мозаики, получим замощение плоскости. Полученное нами замощение обладает разнообразными элементами (видами) симметрии. Сможете их перечислить?

Мы намеренно использовали усложненное соединение мономеров в цепь – через красный квадратик, – чтобы получить нетривиальное замощение с богатым набором симметрий. Разумеется, можно было соединить мономеры более простым способом. Каким? Постройте соответствующее замощение. С помощью аналогичной процедуры, проведенной над другими полными конфигурациями, можно получить новые интересные мозаики.

Найдите красивые решения!

  • Читайте продолжение: материалы №2 и №3 по ссылкам
Загрузка статьи...