Привычка мять, комкать и рвать бумагу в минуты нервного стресса или когда не дают покоя тяжкие мысли о суетном, свойственна многим людям. Почему нас так тянет к насилию над великим китайским изобретением, пусть объяснят психологи.
Кривая дракона: фрактал из бумаги

Мы же немного поговорим о том, как наши комкательные порывы обратить на пользу — немного отвлечься, потренировать терпение и обогатить себя малой крупицей знания.

О фракталах — самоподобных фигурах — «ПМ» писала в мартовском номере за этот год. В статье «Красота повтора» речь шла в основном о теории фракталов, в тексте даже мелькали формулы, что в нашем научно-популярном журнале событие весьма нечастое. Но на этот раз мы попробуем обойтись без математики и покажем, как к познанию тайны фракталов можно подойти с помощью небольшого эксперимента, для которого не потребуется ничего, кроме бумаги, ну и, может быть, ножниц.

Игры ученых Игры ученых «Кривая дракона» была придумана серьезными людьми — физиками, сотрудниками NASA Дж. Хайвеем, Б. Бэнксом и У. Хартером. В честь первооткрывателей этот фрактал иногда называют «Драконом Хайвея-Хартера», Бэнкса почему-то забыли.

Итак, возьмем кусок бумажной ленты (например, отрежем узкую полоску бумаги от длинной стороны листа А4) и начнем складывать пополам, потом еще раз пополам и еще. Чтобы получить более-менее наглядный результат, придется ограничиться четырьмя складываниями — лента наша слишком коротка. Да, и самое главное — складывать ее придется по определенному правилу: полоску сгибать всегда в одном и том же направлении. Этапы сгиба показаны на рис. 1 и 2.

Теперь разогнем ленту так, чтобы в местах сгибов образовался угол 90 градусов, и разложим ленту на столе. Вот перед нами и появился фрактал под названием «Кривая дракона». Если посмотреть на ленту сверху, мы увидим что-то вроде змейки из доисторических компьютерных игр, но на дракона созданное нами произведение явно не тянет. Откуда же взялось такое звучное имя? Оказывается, если бумагу продолжать сгибать, то с каждым шагом получающийся узор будет становиться все причудливее и причудливее. Например, после десятого сгиба у нас должно получиться то, что изображено на рисунке над заголовком статьи. Здесь сходство с драконами, как их рисовали в Древнем Китае, уже весьма очевидно. Конечно, созданием «Кривой дракона» управляет несложный алгоритм, так что построить этот фрактал на компьютере можно при помощи короткой программы. И когда компьютер «согнет» виртуальную ленту десятки и сотни раз, перед нами откроются настоящие красоты, изображения которых легко найти в интернете.

Шаг за шагом Шаг за шагом На схеме слева показано, как происходят три первых сложения бумажной ленты. На картинке внизу — красочная компьютерная эмуляция фрактала «во всей красе».

Но мы все-таки вернемся к бумаге. Количество сгибов можно, конечно, увеличить, взяв ленту подлиннее, а бумагу потоньше. Однако физические свойства материала при таком методе не позволят нам уйти далеко. Бумагу, как известно, сложить больше семи раз практически невозможно, к тому же отрезки ломаной линии при увеличении количества сгибов начнут получаться неравной длины, что испортит все эстетическое впечатление.

«Обхитрить» материал можно, изучив тот самый несложный алгоритм построения «Кривой дракона». А выглядит он так. Представим себе, что мы смотрим на нашу ленту сверху и она имеет для нас вид прямой линии. Пусть при первом сгибе мы сложим ленту влево. Тогда при следующем шаге лента будет складываться по правилу «левый поворот — левый поворот — правый поворот» (ЛЛП). Третья итерация — ЛЛПЛЛПП. Как теперь определить, что произойдет с лентой при четвертом сгибе? Правило простое, но запутаться очень легко, так что понадобятся терпение и внимательность. Итак, каждая следующая формула будет начинаться с предыдущей, дальше мы вставляем значение первого поворота (в нашем случае это «Л») и — теперь внимание! — снова добавляем формулу предыдущего шага, но, во‑первых, переписываем ее задом наперед, а во-вторых, меняем в ней «П» на «Л» и «Л» на «П». Если все действия выполнены правильно, для четвертого сгиба получаем ЛЛПЛЛППЛЛЛППЛПП. Вычислить формулу хоть 5-го, хоть 12-го сгиба теперь совсем несложно… для компьютера. Человеку же главное — не запутаться. Однако, зная, как именно чередуются сгибы, можно обойтись без одновременного складывания всей ленты, а разметить ее на равные отрезки и обозначить направления поворотов. А можно построить «Кривую дракона» просто из отдельных кусочков ленты или разложив на полу или на столе продолговатые элементы какого-нибудь конструктора типа LEGO. Чем не тренировка на внимательность и пространственное воображение! Для наших читателей или их любимых чад школьного возраста.

Лихие повороты Лихие повороты «Кривая дракона» после четвертого сложения. На схеме показано, как можно разметить направления сгибов на ленте.

Статья опубликована в журнале «Популярная механика» (№10, Октябрь 2009).
Понравилась статья?
Подпишись на новости и будь в курсе самых интересных и полезных новостей.