Теория невероятности: как выиграть автомобиль

Представьте, что вы участвуете в телешоу, и перед вами три двери. За одной из них новенький автомобиль, за двумя другими — ничего, ну, или по козе. Ведущий, который в курсе, где приз, предлагает вам сначала выбрать (но не открывать) любую дверь, затем, открывает одну из двух оставшихся, за которой точно пустота, и предлагает изменить ваш первоначальный выбор. Как поступите? По мнению большинства людей, в том числе математиков, ответ противоречит интуиции, но теория вероятностей работает безотказно. Сейчас объясним почему.
Теория невероятности: как выиграть автомобиль

Это телешоу вовсе не вымышленное, а вполне реальное, под названием Let's Make a Deal. В разных форматах оно крутилось более чем в двух десятках стран с 1963 года. Казалось бы, что может быть проще: три двери, одна машина (да какая — Cadillac!), пара коз, добряк ведущий, который открывает «пустую» дверь, увеличивая тем самым шансы на победу... Но будь оно все так просто, шоу не имело бы успех на протяжении 30 лет. И не назвали бы потом решение этой задачи парадоксом Монти Холла, в честь бессменного ведущего этого шоу. Это чертовски простая задача, не требующая каких-либо сложных методов и вычислений, но минимальное знание математики наличие логики будут очень кстати.

Вы выбрали дверь номер 1. Круто, ваши шансы на выигрыш равны 1/3. Но у нас для вас плохие новости - вероятность того, что машина осталась за одной из двух других дверей - 2/3

Итак, три двери. Одна ведет к призу, две другие — к разочарованию. Следовательно, вероятность того, что за любой из дверей находится автомобиль, равна ⅓. Это первая часть. Если бы задача Монти Холла заканчивалась только одним действием, выбором первой двери, это было бы очень скучно. По крайне мере ее вряд ли опубликовали бы в 1975 году в научном журнале The American Statistician. Большинство участников рассуждали интуитивно: после того, как ведущий открывал дверь, за которой нет приза, начиналась вторая часть игры. Большинство думало, что шансы на победу составляли уже ½, то есть 50%, так как самих не открытых дверей оставалось две, и менять в таком случае выбор вроде как бессмысленно. А вот и нет!

Давайте еще раз. Ваша дверь под номером один и шансы - 1/3. Тут понятно. Вероятность встретить за двумя другими "Кадиллак" - 2/3. Это тоже ясно. Одна из не призовых и не выбранных вами дверей открывается, там коза. Теперь возвращаемся к закрытым дверям: за вашей под номером 1 машина с вероятностью 1/3, шанс встретить ее за другой не открытой - 2/3. Вы все еще настаиваете на своем? Эх, не видать вам "Кедди"...

Хотя возможностей выбора действительно остается две, эти возможности (с учетом первой части) не являются равновероятными. Изначально все двери имели равные шансы быть выигрышными, но затем имели разные вероятности быть исключенными. Увы, но для большинства людей этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации, и благодаря возникающему несоответствию между логическим выводом и ответом, к которому склоняет интуитивное мнение, задача и называется парадоксом.

Чтобы уехать из студии на новеньком «Кадиллаке» без изменения выбора, нужно было сразу угадать призовую дверь. Шансы такого исхода — ⅓, а вероятность уйти пешком — ⅔. Стало быть, настаивая на своем первоначальном выборе во второй части игры вероятность выигрыша остается на уровне ⅓, а при смене двери шансы вырастают вдвое!

Наглядное распределение вероятностей. Из тех, кто менял дверь (нижний левый угол), двое получили машину и один - козу. Из тех, кто не менял (нижний правый угол) - все в точности до наоборот

Не верите? Вот еще одно объяснение. Давайте предположим, что дверей не три, а десяток. Или сотня. Да что уж мелочиться, пусть будет тысяча. Вы выбираете одну, затем ведущий открывает 998 за которыми точно нет автомобиля. Остаются опять две двери: которую выбрали вы, и которую оставил ведущий. Вероятность в первом действии попасть в призовую дверь — 1/1000, и она сохраняется, если вы упрямо не желаете менять свой выбор. То есть, шансы остаться с носом в таком случае составляют 999 из 1000. При таком раскладе становится более очевидным, что вероятности нахождения приза за оставшимися двумя дверьми различны, и не равны ½. Давайте еще раз: если не меняем выбор, то шансы равны 1/1000, если меняем — ⅔. Все просто.

Вот он, Монти Холл - ведущий, продюсер и филантроп, раздававший долгое время "Кадиллаки". И коз