«ПМ» предлагает решить три избранные задачки из юбилейного сборника Pythagoras Magazine — всемирно известного журнала о занимательной математике.
Задачки от Pythagoras Magazine: сможете ли вы решить их? (Решения и ответы)

Самая известная в мире теорема носит имя греческого мыслителя Пифагора. А ещё в честь него назван знаменитый голландский журнал, посвящённый занимательной математике — Pythagoras Magazine. В этом году журнал празднует пятидесятилетие, и к этой дате решено было выпустить сборник лучших статей, загадок, головоломок и задач на английском языке. Купить книгу можно за 45 долларов, а пока вы раздумываете над приобретением, мы вслед за британской газетой The Guardian публикуем три задачки из книги. Удачного вам решения!

1. Задачка о мешке долларов

В мешке лежит 26 долларовых купюр номиналом 1, 2 и 5 долларов. Известно, что если вы будете вытаскивать купюры по одной, не глядя, то, вытянув 20, вы вытащите как минимум 1 однодолларовую купюру, две двухдолларовых и пять — по пять долларов. Вопрос: сколько денег в мешке?

Решение:

Допустим, что в мешке a банкнот с номиналом 1 доллар, b двухдолларовых купюр и c пятидолларовых. Всего в мешке 26 купюр, поэтому вытащив 20, мы оставим внутри 6. Если, оставив в мешке шесть купют, мы наверняка вытащим из него хоть одну однодолларовую, значит

a ≥ 6 + 1

Рассуждая таким же образом, получаем ещё два неравенства:

b ≥ 6 + 2;

c ≥ 6 + 5,

а всего в мешке, как известно, 26 банкнот. Взяв минимальные значения a, b и c, получим 7, 8 и 11, а в сумме — 26. Подставив номиналы, мы узнаем, сколько денег в мешке: 7*1 + 8*2 + 11*5 = 78.

Ответ: в мешке 78 долларов.

2. Задачка про Инь и Ян

Символ даосистской концепции Инь и Ян складывается из двух вот таких фигур. Площаль фигуры ограничена тремя полуокружностями. Как раделить эту фигуру на две одинаковые?

Ответ:

3. Задачка про огромный пирог

Огромный пирог разделили между сотней гостей. Первый гость получил 1% целого пирога, второй — 2% того, что осталось, третий — 3% того, что осталось после перых двух гостей, и так далее. Последний гость получил 100% того, что осталось после 99-го гостя. Чей кусок пирога оказался самым большим?

Решение:

Какой-то из гостей с номером k отрежет себе кусочек от некоторой части пирога x. Его для составит x, умноженное на (k/100). От пирога останется x — x (k/100) = x (100-k)/100. Следующий гость k + 1 получит кусок пирога, равный x, умноженное на ((100-k)/100)((k + 1)/100).

Получается, что гость k + 1 получит больше, чем гость k, если (100-k)/100)((k + 1)/100) > k/100. Раскрыв скобки и приведя подобные, получим неравенство — k2 — k + 100 > 0. Оно верно для k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Получается, что порция будет расти для гостей с 1 по 9, а с десятого гостя начнёт уменьшаться.

Ответ:

Лучше всего быть десятым гостем — он получит самый большой кусок пирога.