Игра в квадраты: показываем новую настолку

Играют двое. У каждого игрока имеется в распоряжении набор прозрачных квадратов: у одного игрока – синего цвета, у другого – желтого. Квадраты в каждом наборе имеют пять размеров – 2х2, 4х4, 6х6, 8х8 и 10х10. Общее число таких фигурок неограниченно: скоро вам станет понятно, почему.

Первым ходом соперники одновременно выставляют на поле каждый по одному квадрату. Противники тайно друг от друга выписывают координаты центра или одного из углов выставляемого квадрата (например, нижнего левого) и длину его стороны. Снова вспоминаем морской бой, там принцип примерно тот же.

Если оказывается, что эти квадраты не накладываются друг на друга, они остаются на поле (рис. 2).

Если же они пересеклись, то на поле остается меньший квадрат, а больший удаляется (рис. 3).

Если пересеклись квадраты одинакового размера, они оба остаются на поле, и область их пересечения – зеленая зона – далее будет считаться общей (рис 4).

Еще не утомились? Немного терпения! Вторым ходом игроки одновременно выставляют квадраты так, чтобы они не пересекались ни со своим, ни с чужим уже выставленными квадратами (касание возможно). Но при этом новый квадрат должен соприкасаться хотя бы в одной точке с предыдущим квадратом своего цвета или с зеленой зоной (рис. 5). Правила удаления или оставления на поле новых квадратов те же, что и для первого хода.

Это касается и последующих ходов. Каждый новый квадрат должен касаться хотя бы одного квадрата своего цвета или зеленой зоны, если таковая имеется (рис. 6).

Ход можно пропускать. Игра заканчивается, когда оба игрока одновременно пропускают ход. После этого определяется суммарная площадь выставленных квадратов каждого игрока, за исключением зеленых зон: выигрывает тот, у кого эта площадь больше.Игра заканчивается также в тех случаях, когда один из игроков досрочно признает поражение или противники предлагают другу ничью (последний случай крайне маловероятен).

Эта игра хорошо иллюстрирует понятие минимакса: нужно максимизировать суммарную площадь, одновременно минимизируя ее части. Или, образно выражаясь, отнимать ресурсы у противника настойчивыми, но неагрессивными действиями.

Разберем игру немного детальнее для самых терпеливых.

Оптимальное начало игры как для вас, так и для противника - выставление квадрата 2х2 в центр поля. Этот квадрат станет центральной зеленой зоной, от которой фигуры будут развиваться по четырем основным направлениям.

Понятно, что выбор первого направления можно определять случайным образом. Это элемент так называемой смешанной стратегии, состоящей в случайном выборе хода из нескольких возможных, каждому из которых присваивается определенная вероятность выбора (в данном случае вероятности выбора направления равны одному и тому же значению, а именно 1/4).

На рисунке 8 приведен пример позиции, возникшей после второго хода.

Проанализируем ее. Желтые и синие заняли противоположные направления вдоль одной из главных диагоналей. Теперь у каждой из сторон возникла дилемма по выбору одного из двух оставшихся направлений развития. И вот здесь-то возникают трудности.С одной стороны, желтым следует развиваться в направлении правого нижнего угла, поскольку их квадрат сдвинут вверх относительно диагонали a1-v21, из-за чего влияние на правую нижнюю четверть поля несколько ослаблено. Зная об этом, синие сами разовьются в этом направлении, выставляя квадрат небольших размеров. Зная об этом, желтые выставят квадрат большого размера в противоположном направлении. Зная об этом, синие выставят небольшой квадрат в этом же направлении. Зная об этом, желтые выставят большой квадрат в направлении правого нижнего угла... Обратите внимание на то, что порочный круг возник исключительно из-за асимметричности позиции: если бы диагонали обоих квадратов лежали на главной диагонали поля, то выбор направления для третьего хода можно было бы совершать случайным образом.

Данная ситуация перекликается со знаменитой задачей о «дилемме заключенного». Там она тоже решается с помощью смешанной стратегии. Теоретически и здесь ее можно применить, но ввиду колоссальных вычислительных сложностей приходится полагаться на интуицию и общие соображения.

Новичкам вместо поля 20х20 рекомендуется использовать поля меньших размеров – например, 12х12 или 8х8. Соответственно уменьшается и набор квадратов. Желательно, чтобы площадь максимального квадрата была равна четверти поля. Для поля 8х8 допустимы квадраты всех промежуточных размеров – со стороной от 1 до 4.

Желательно, чтобы в комплект игры, помимо стандартного поля, входили поля меньших размеров – 12х12, 8х8 с соответствующими наборами квадратов. Общая рекомендация: максимальный квадрат должен быть равен четверти поля. Для небольших полей можно допустить большую вариативность квадратов. Например, для поля 8х8 можно использовать квадраты 1х1, 2х2, 3х3, 4х4. На квадратах желательно писать длину их стороны.

Позаботьтесь об устойчивости поля, чтобы выставленные квадраты не слетали с него при малейших толчках. Квадраты, как и поле, должны быть достаточно крупных размеров. Желательно изготовить их из прозрачного пластика, достаточно тонкого (чтобы сохранялась прозрачность), но при этом жесткого.