ПОПУЛЯРНАЯ МАТЕМАТИКА: ПУАНКАРЕ НА ПАЛЬЦАХ |
|
Недавно СМИ пестрели сообщениями о том, что Григорию Перельману удалось доказать знаменитую гипотезу Пуанкаре. Больше всего общественность поразил тот факт, что триумфатор отказался от положенных наград и премий. К сожалению, о сути открытия журналисты особенно не распространялись, – мы попытаемся восполнить этот пробел.
 |
Жюль Анри Пуанкаре (1854-1912)
|
 |
Морис Эшер, «Рука с зеркальной сферой» (литография, 1935)
|
|
|
Гениальный математик, парижский профессор Анри Пуанкаре занимался самыми разными областями этой науки. Самостоятельно и независимо от работ Эйнштейна в 1905 году он выдвинул основные положения Специальной теории относительности. А свою знаменитую гипотезу он сформулировал еще в 1904 году, так что на ее решение потребовалось около столетия.
Пуанкаре был одним из родоначальников топологии – науке о свойствах геометрических фигур, которые не изменяются при деформациях, происходящих без разрывов. К примеру, воздушный шарик можно с легкостью деформировать в самые разные фигуры – как это делают для детей в парке. Но потребуется разрезать шарик, чтобы скрутить из него бублик (или, говоря геометрическим языком, тор) – другого способа не существует. И наоборот: возьмите резиновый бублик и попробуйте «превратить» его в сферу. Впрочем, все равно не выйдет. По своим топологическим свойствам поверхности сферы и тора несовместимы, или негомеоморфны. Зато любые поверхности без «дырок» (замкнутые поверхности), наоборот, гомеоморфны и способны, деформируясь, переходить в сферу.
Если насчет двумерных поверхностей сферы и тора все было решено еще в XIX веке, для более многомерных случаев потребовалось гораздо больше времени. В этом, собственно, и состоит суть гипотезы Пуанкаре, которая расширяет закономерность на многомерные случаи. Немного упрощая, гипотеза Пуанкаре гласит: «Всякое односвязное замкнутое n-мерное многообразие гомеоморфно n-мерной сфере». Забавно, что вариант с трехмерными поверхностями оказался самым непростым. В 1960 году гипотеза была доказана для размерностей 5 и выше, в 1981 – для n=4. Камнем преткновения стала именно трехмерность.
Развивая идеи Вильяма Тёрстена и Ричарда Гамильтона, предложенные ими в 1980-х годах, Григорий Перельман применил к трехмерным поверхностям особое уравнение «плавной эволюции». И сумел показать, что исходная трехмерная поверхность (если в ней нет разрывов) обязательно будет эволюционировать в трехмерную сферу (это поверхность четырехмерного шара, и существует она в 4-мерном пространстве). По словам ряда специалистов, это была идея «нового поколения», решение которой открывает новые горизонты для математической науки.
Интересно, что сам Перельман отчего-то не потрудился довести свое решение до окончательного блеска. Описав решение «в целом» в препринте The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications в ноябре 2002 года, он в марте 2003 года дополнил доказательство и изложил его в препринте Ricci flow with surgery on three-manifolds, а также сообщил о методе в серии лекций, которые прочел в 2003 году по приглашениям ряда университетов. Ни один из рецензентов не смог обнаружить в предложенном им варианте ошибок, но и публикации в реферируемом научном издании Перельман не выпустил (а именно таковым, в частности было необходимое условие получения премии Математического института Клэя). Зато в 2006 году на основе его метода вышел целый набор доказательств, в которых американские и китайские математики подробно и полностью рассматривают проблему, дополняют моменты, опущенные Перельманом, и выдают «окончательное доказательство» гипотезы Пуанкаре.
Добавлено: 14.09.06
|
|
Зарегистрируйтесь сейчас и получите 100 баллов себе на счет!
А разместив ссылку на этот материал Вы получите дополнительные баллы за каждый переход по ней.
Подробнее об условиях акции читайте в правилах.
|
|
| ЧИТАЙТЕ ПО ТЕМЕ |
СВЕТ ИЗДАЛЕКА
Разгорячившийся Нептун
Впервые астрономам удалось получить свет от далекой планеты из класса сверхземель и мыслен...
18/05/12  7
|
|
ТЕЛЕ-
-портация
Проведена квантовая телепортация на расстояние почти в 100 км.
17/05/12 31
|
|
РЕДКИЕ ГЕНЫ
Экзотика в хромосомах
Бешеные темпы, которыми растет население Земли, приводят к накоплению в геноме прежде редк...
17/05/12 50
|
|
НЕДОПЛАНЕТА
История одного астероида
Первый анализ состава гигантского астероида Веста показал, что это – останки недоразвитой ...
17/05/12 7
|
|
|
ReadMe
|
|
|
|
МАГАЗИН ПМ
4
